在中國古代，天文學和數學既是兩個獨立發展的不同學科，又存在著密切的聯係。天文學的發展，有賴於數學的進步，往往又是當時數學發展水平的集中體現。秦漢時期的科學家們，在整理和繼承以往天文學和數學成就的基礎上，結合當時勞動人民的生產和生活實踐，又把它們推到了新的高度。如《太初曆》《三統曆》《史記·天官書》和《靈憲》等天文學著作的出現，各種天文儀器和天象觀測手段的發明與運用，以及各種天體結構理論的提出，都標誌著中國古代獨特的天文學體係的初步形成；而《九章算術》的出現，則是這一時期數學發展水平的突出代表。
一、曆法的修訂與完善
中國是一個古老的農業國家，農業生產在社會經濟生活中占有舉足輕重的地位。而要安排好農業生產，又離不開科學的曆法。中國古代曆代統治者都十分重視曆法的修訂工作，把它作為封建政治和社會生活中的一件大事來抓。這是眾所周知的。實際上，中國古代的曆法包含有更豐富的內容，它可以說是一門研究日月五星運動的科學。具體說來，它包含以下幾方麵的內容：（一）朔望和節氣時刻的推求，以及和這些有關的閏法的確定；（二）日月食的預報；（三）五星位置的推算；（四）恒星位置的測定；（五）晷影和刻漏的測量。當然，就中國古代曆法體係本身而言，它也有一個不斷完善的過程。
公元前221年，秦始皇統一中國，建立了中國曆史上第一個統一的中央集權的封建國家。秦皇朝建立後，沒有著手製訂新的曆法，仍沿用原來的顓頊曆。這一曆法早在公元前366年就被秦國采用。由於秦始皇推崇當時頗為流行的“五德終始”說，認為“周得火德”，而秦“獲水德之瑞”，應“改年始”，因而將顓頊曆的曆元由原來的朔旦立春，改置於十月，即以十月為每年的第一個月。至於是否還有其他的變革，由於顓頊曆本身早已失傳，不得而知。
西漢皇朝建立後，仍沿用秦時的顓頊曆。這可能是因為：一、秦漢之際連年不斷的戰爭，給社會政治、經濟和文化生活造成了極大的破壞，各行各業都處於百廢待興的狀態，漢朝中央政府一時無力去進行曆法的修訂工作；二、據《史記·曆書》記載，漢高祖劉邦也根據“五德終始”說，自認為得到了水德的瑞應，與秦相同，因而就承襲了秦代曆法。到漢文帝時，魯人公孫臣上書，聲稱漢得土德，而非水德，於是改曆之議興起。漢武帝太初元年（前104年），學者們終於製訂出了一部新的曆法，代替了古老而業已過時的顓頊曆。這就是《太初曆》。
客觀地說，這次曆法變革有它的必然性。由於顓頊曆行用到漢武帝時已有一百多年，所累積的誤差致使朔日、晦日出現了新月，而滿月不出現在望日，曆法已與天象不合；又如歲首的安排，係出於政治考慮，使得農事的開始與曆法的歲首相差一季，很不協調。曆法必須與天象相符，與季節的變換和農事的安排相適應，這是曆法的生命力所在。因而顓頊曆本身在曆年行用中所暴露出來的種種缺陷，乃是觸發這次曆法變革的主要原因。又，根據當時的推斷，漢武帝元封七年（前104年）十一月甲子日夜半恰逢合朔交冬至，這是一個十分難得的改曆良機。於是，由司馬遷和壺遂等人上書，漢武帝下詔命人製訂新曆。經過反複論證，最後選用了與實際天象比較接近的由鄧平、落下閎所獻的曆法，是為《太初曆》。
《太初曆》的產生，是西漢時期天文學發展的一項重要成就。首先，由於《太初曆》是建立在天文實測的基礎上的曆法，它克服了原來顓頊曆與實際天象有時不符的弊端，因而更加科學，經得起實踐的檢驗。據說，該曆製訂27年後，太史令張壽王曾以推算起點不準、合朔時刻虧了3／4日為由，要求修改《太初曆》，啟用殷曆。政府組織20多人驗曆，用了3年時間，結果證明《太初曆》與實際天象基本吻合。這開創了觀天製曆、以天驗曆的好傳統。其次，《太初曆》采用夏正，以寅月為歲首，與一年的農事起始時間相符，適應了人們以春夏秋冬四季為一年的習慣。再次，《太初曆》還規定了以無中氣之月為閏月，比過去以年終置閏的方法更為合理，可使月份與節氣相對固定。此外，《太初曆》還重新測定了二十八宿的距離，第一次明確提出了交食周期的概念和數值，測定了比以前曆法更為準確的五星會合的周期值，並且製訂了五星在一個會合周期的動態表，建立了一套定量地預報任一時期五星位置的方法，等等。由此可見，《太初曆》確實是當時最先進的曆法，它不僅是對以往科學技術尤其是曆法研究方麵所取得的成就的繼承與發揚，而且有所創新，是當時社會發展和生產力水平提高的一個重要標誌。而從前文所述的中國古代曆法體係所包含的五項內容看，它已具備了前四項，幾乎是當時的一部天文學年鑒和天文年曆。
對於《太初曆》的最初修訂，是在西漢末年。劉歆是一位經學大師，也是一位傑出的天文學家。在天文學領域，他有眾多的發現。如他發現木星運行周期不到12年，以12年作為周期計算，歲星就會出現“超辰”現象，並由此提出了一種歲星超辰的計算方法；他還計算出了比《太初曆》更精確的朔望月數值和回歸年數值，等等。對於當時所通行的曆法《太初曆》，他經過修訂，提出了《三統曆》，並撰寫了《三統曆譜》。《三統曆》使用的仍是《太初曆》的數據，其所以用三統命名，是因為從《太初曆》曆元時刻起算，經1539年之後，朔和冬至又回到同一天的夜半，故以1539年為一統；經三個1539年後，朔和冬至又回到同一個甲子日的夜半，故謂之三統。按照劉歆的理論，每過一統就要更換一個朝代，也就要改一次正朔，易一次服色，從而表示接受了這一統的天命。可見，劉歆造《三統曆》，與他當時作為王莽的國師的身份以及王莽篡漢的政治企圖有密切的關係。
不過，作為一部曆法，《三統曆》也有其值得稱道之處。如《太初曆》規定以4617年為元，雖然滿足了一元三統的要求，卻不能從哲學上給以滿意的解釋。劉歆既精於律曆術數，又通經學，經過他的發展，曆法的內容變得更豐富、形式更完善了。劉歆的《三統曆》載於《漢書·律曆誌》，共分七個部分：統母、紀母、五步、統術、紀術、歲術和世經。每一部分都隻記算法，不標計算結果。以後曆朝格式雖有不同，但大要不變，成了修訂曆法的定式。再有，由於《太初曆》已失傳，而《三統曆》卻被《漢書·律曆誌》作為藍本保存下來，使我們得以根據《三統曆》，大致了解《太初曆》的內容。
《乾象曆》的另一個重要創新是將月行遲疾引入曆法。戰國時期，人們就認識到了五星運行有遲疾這一特點；到東漢時，經學大師賈逵發現月有遲疾。《乾象曆》將這一成果納入曆法。月有遲疾產生的原因，一是月球運行的軌道是橢圓形，在近地點時，引力增加，速度加快，遠地點時引力減少，速度變慢；二是由於白道與赤道斜交造成的視差。在二至前後時月行遲，而在二分前後月行速。遲疾法的使用，無疑使天象與曆法更加吻合。根據月亮運動的這種不均勻性特征，劉洪定出了比較精確的近點月長和一個近點月中每天月亮的實行度數，並用來修正根據月亮平均運動而算出的平朔和平望，從而得到定朔和定望，有助於更準確地預報交食。此外，《乾象曆》還第一次提出交食食限的數值，重新測定了五星會合周期。
劉洪的這一係列貢獻，使我國古代曆法體係更加充實、完善，代表了秦漢400餘年間我國曆法修訂的最高水平。可惜，這樣一部具有劃時代意義的優秀曆法，未能得到行將崩潰的東漢中央政府的采納。
二、天象的觀測與記錄
中國具有悠久的天象觀測和記錄的優良傳統。在甲骨卜辭裏就有了天象記錄，春秋戰國時期的天象記錄則更多。到秦漢時期，天象觀測和記錄有以下幾個明顯的特點：一是記錄趨於齊備；二是記錄更加詳盡精細；三是觀測手段更加先進、完備。
《史記·天官書》提供了當時人們對於天體現象認識的最完備的記錄，也是中國流傳至今的最早係統敘述星官的著作。該書收錄恒星558顆，比先秦文獻所載增加了350多顆。同時，針對戰國時期不同星官劃分體係並立的局麵，司馬遷在早已存在的北鬥、四象、二十八宿的星官體係的基礎上，進一步發展成為五宮二十八宿的完整體係。該體係的主要特點是：（1）它增加了中宮，把包括北極星、北鬥星的拱極天區明確劃分出來；（2）以統一的體製為全天星官命名，經過命名的星官組成了一個天上王國；（3）穿插了認星方法，記述了星官間的相對位置，描繪了一些星官的觀測特征。這就為人們認識天象提供了一幅基本的框架圖。
司馬遷所描繪的新的星官體係是以中宮為中心而展開的。中宮是他想象中的天上社會的政治中心。而北極星則猶如天帝，旁有三星像三公大臣，後有鈞曲四星如同嬪妃，外部環繞的十二星像藩臣護衛。他說：“鬥為帝車，運於中央，監製四鄉。分陰陽，建四時，均五行，移節度，定諸紀，皆係於鬥。”即是說，北鬥能分辨陰陽，建立四時，調和五行，推移節氣，確定星紀，充分表現出中宮至高無上的權威。東宮有角、亢、氐、房、心、尾、箕七宿，它們形成蒼龍之象，是天帝的布政之所。南宮有井、鬼、柳、星、張、翼、軫七宿，它們形成朱雀之象，是天帝的別宮，其中軒轅被描述為“女主”，即帝後，與朱雀取得一致。西宮有奎、婁、胃、昂、畢、觜、參七宿，它們形成白虎之象，是天帝的車庫、糧草庫及遊獵場。北宮有鬥、牛、女、虛、危、室、壁七宿，它們形成玄武之象。該宮十分龐雜。司馬遷對這一宮的許多星官也作了較形象的描繪，如危宿像屋頂，南方眾星似羽林軍；織女成了天帝的孫女，王良五星被看成是天帝的禦官，旁有天馬，故有“王良策馬，車騎滿野”，等等。總之，《天官書》所描繪的星官體係，是一個以中宮為中心，由眾多恒星所組成的有機整體，儼然如一個有統治秩序的天上社會。這一星官體係，雖然不免有一些牽強附會的因素，但它基本反映了日月五星的運行狀況，表述了二十八宿的大體位置及辨認方法，是當時人們對於天體觀測與認識的總結，為進一步進行恒星觀測提供了方便。
不僅如此，《天官書》還對許多天體現象作了精細的觀測記錄。如《天官書》記錄了恒星的顏色、亮度和亮度變化，書中說：“太白白比狼；赤比心；黃比參左肩；蒼比參右肩；黑比奎大星。”司馬遷將天狼星作為白亮的標準；心宿二是紅而亮的標準，特別是參宿四作為黃色標準引起了現代恒星演化學家的關注，因為該星現在是一個紅巨星，它是在司馬遷之後才拋出氣體外殼，逐漸演化成今天這個樣子的。又書中將星分成大星、明星、一般星、若見若不見等類型，反映了當時人們對於星的亮度等級的認識。《天官書》在描述長沙星時，說其“星星不欲明，明與四星等”，就是在該星變亮時，其亮度與周圍軫宿四星差不多，這是對恒星亮度變化的正確認識。此外，《天官書》還有許多關於行星的科學認識，如“察日月之行以撰歲星順逆”，即用日月運行方向來考察木星是順行還是逆行，與日月運行同方向，謂之順行，否則為逆行；又如“其趨舍而前曰嬴，退舍曰縮”，指出行星觀測位置會超前或落後於預推位置，這實際上是當時使用的恒星周期不準確造成的，也與行星視運動有逆行有關，等等。書中還記錄了太陽係其他天體的現象，如彗星、流星、隕石、黃道光、火流星等，也記錄了極光、雲氣、交食、交食周期、突發變星等地球物理現象和天象，內容十分豐富，堪稱為當時的一部天文學辭典。
秦漢時期，對於天象記錄的趨於完備、精細還反映在其他一些典籍中。如班固所著的《漢書·五行誌》中就對太陽黑子有準確的觀測記錄，書中記載：“成帝河平元年……三月己未，日出黃，有黑氣大如錢，居日中央。”漢成帝河平元年為公元前28年，這是世界上公認的最早的對太陽黑子的記錄。《漢書·天文誌》記載：“元光元年六月，客星見於房。”漢武帝元光元年是公元前134年，這是中外曆史上都有記載的一顆新星，但西方的記錄沒有年月方位。《後漢書·天文誌》記載：“中平二年十月癸亥，客星出南門中，大如半筵，五色喜怒稍小，至十六年六月消。”漢靈帝中平二年為公元185年，這是世界上最早的超新星記錄。又如《漢書·五行誌》對於彗星的記載：“元延元年七月辛未，有星孛於東井，踐五諸侯，出河戍北，率行軒轅、太微、後日六度有餘，晨出東方。十三日夕見西方……鋒炎再貫紫宮中。……南逝度犯大角、攝提，至天市而按節徐行，炎入市中，旬而後西去，五十六日與蒼龍俱伏。”“孛星”就是彗星。漢宣帝元延元年為公元前12年。這裏對彗星的運動路線、視行快慢以及相應的時間都作了詳盡的記載，是一份難得的研究彗星運動規律的材料。
日晷（漢）1897年內蒙古托克托出土
秦漢時期天文學的進步，天體觀測記錄的趨於完備、精細，是與天體觀測手段的改進、天文儀器的製作分不開的。中國古代的天體測量儀器，主要有渾儀、圭表、漏壺、渾象和星圖等。其中渾儀、圭表、漏壺，漢以前就有，至漢代有了改進；渾象為漢代的發明；戰國時有星表，到漢代發展成為星圖，使其成為天文觀測必不可少的工具。
中國古代的渾儀與古希臘的不同，古希臘的渾儀以黃道坐標為主，而中國的渾儀是以天赤道坐標為主。在漢代，渾儀有幾次改進。
銅漏壺（西漢）1976年內蒙古杭錦旗出土
武帝時製訂《太初曆》期間，落下閎改進了渾儀，用它測量了二十八宿距離等數據。到兩漢之際，渾儀已經有一個固定的赤道環和繞軸旋轉並附有窺管的赤經環組成，兩環上都刻有周天度數，可以測定天體的入宿度和去極度，所謂去極度就是天體距離天北極的度數，相當於赤緯的餘角。東漢前期，民間天文學家傅安第一次給渾儀添加了一個黃道環，這和赤道環成24°夾角。這一黃赤交角和理論值的差大約隻有一分。利用黃道環可以觀測日月行度。在這一基礎上，東漢天文學家張衡又給渾儀添加了地平環和子午環。經過這一係列的改進，渾儀作為中國古代一種重要的天文觀測手段已基本趨於完善。
漏壺的製造，自東漢張衡開始，已經有兩級補償式漏壺的創製。兩級補償式漏壺就是有上下兩個漏壺，上一級漏壺的水漏滴到下一級漏壺，去補償下一級漏壺漏滴出去的水，使下一級漏壺的水基本上保持一定的水麵高度，這樣下一級漏壺漏滴水的快慢可以基本保持不變。漏壺的改進，使時間的測量精度更加提高。
渾象是秦漢時期天文學上的一項重要發明。西漢宣帝時，耿壽昌首創了演示天象的一種儀器，稱之為渾象，用銅鑄成，它跟現今的天球儀相似。到東漢時，張衡又在此基礎上，發明了水運渾象。他用一個直徑大約五尺的空心銅球表示天球，上麵畫著列宿和互成24°交角的黃道赤道，球外有地平圈和子午圈，子午圈上支架著一根天軸，天軸跟地平圈大約成24°的交角，天球可以繞天軸轉動。天球轉動的時候，有一半露在地平圈之上和四時的天空星象相符；有一半隱在地平圈之下。張衡還利用漏壺流水的等時性，用漏水做動力，巧妙地通過齒輪係統的轉動，驅使天球每日均勻地繞天軸旋轉一周，這樣渾象也就自動地、近似正確地把天象的一日變化演示了出來。這是後世得到充分發展的水運渾象儀的鼻祖。渾象的發明，為人們觀測天體的運動變化提供了一個形象、直觀、簡便的途徑，為中國古代天文學的發展作出了重大貢獻。
星圖的製作是對恒星位置觀測成果的形象記錄，用來幫助進行天文觀測。中國的星圖起源於所謂“蓋圖”，據《周髀算經》記載，它是用來演示蓋天說的。它是把在中國中原地區全天可見的星象畫在一張圓形的圖上，圓心是北天極，外麵有幾個同心圓，最小的圓圈是恒顯圈，最外的圓圈是恒隱圈，中間的圓圈是天赤道。圖上還畫有表示黃道的圓圈。隨著對天象觀測結果的積累，星圖所記錄的星辰數目也逐漸增多。到東漢初年，星圖上載的恒星有118宮，計783顆。這一數目比《史記·天官書》所記載的又有了增加。由此也可以看出天文觀測手段的改進對於天文學發展的促進作用。
三、天體結構理論
天、地、日、月、星辰是怎樣產生的，它們之間的關係如何，又是怎樣運動的？這些是天文學發展中必然會遇到的問題，也是古代思想家和科學家們經常思索、研究的問題。世界上所有曆史悠久的民族對這些問題都作過自己的回答。早在先秦時期，中國古代的先哲們就對此作過比較深入的探討。秦漢時期的科學家們在前輩業已取得的成就的基礎上，提出了獨到的見解，並且初步奠定了中國古代傳統的天體結構理論。
張衡塑像
東漢時期著名的科學家張衡，不僅在天文曆算、儀器製作上卓有成就，而且在天文學理論上也頗有建樹。張衡（78—139年）字平子，南陽郡西鄂城（今河南南陽北石橋鎮附近）人，曾任太史令等職。在他的科學名著《靈憲》中，對宇宙的生成和演化有詳細的描繪。他說，宇宙的生成和演化可以分為三個階段：第一階段為“太素之前”，其中隻是一片空虛，其外什麽也沒有，故“不可為象”，但“道”的“根”卻含在裏麵；第二階段為“太素始萌”，道根的存在使能“自無生有”，出現了“混沌不分”的狀態；第三階段為“元氣剖判”，此時“剛柔始分，清濁異位。天成於外，地定於內”。應該說，張衡的這一觀點與先秦時期道家的本體論以及漢代道家的觀點有某種直接的淵源關係。如戰國時期的宋、尹學派就已經有氣是宇宙萬物本原的思想。到了西漢，由淮南王劉安和他的門客編著、成書於漢武帝時代的《淮南子》一書，也認為天地日月星辰都是從元氣派生出來的，它們都有一個發生發展的曆史，是元氣在它發展的不同階段上的產物。這一關於宇宙演化的思想，是符合辯證法的。不過，其元氣是從虛無中產生的說法，無疑是唯心主義的。在《靈憲》一書中，張衡還提出了宇宙無限的看法。他說：“宇之表無極，宙之端無窮”，明確表述了宇宙在空間和時間上都是無窮無盡的思想。這在當時是難能可貴的。此外，《靈憲》中還有不少對天體的精辟論述，如說“日譬就火”，“火則外光”，將太陽描述為一團火很有見地；又如說“目光生於日之所照，魄生於日之所蔽，當日則光盈，就日則光盡”，是關於朔、望日相變化的科學論斷，等等。總之，《靈憲》與司馬遷的《史記·天官書》一樣，是一部不朽的古典天文學名著。
在中國古代，人們對於宇宙結構、日月星辰間的關係也作了廣泛的探討，並提出了各種不同的見解。到了漢代，逐步形成了言天之家三足鼎立的局麵，即所謂“言天三家：一曰蓋天，二曰宣夜，三曰渾天”[1]。這也是中國古典天文學關於宇宙結構的基本看法。
早在西周時期，就已經有人提出了蓋天說，認為“天圓如張蓋，地平如棋局”[2]，說的是天圓地方。戰國時期，有人對此提出懷疑，將其修改成為“天似蓋笠，地法覆槃”[3]，認為天像蓋在上麵的一頂鬥笠，地像倒扣著的一隻盤子，就是說地麵不是平的而是拱形的。到了西漢，仍舊有人堅持這一說法。成書於西漢後期的《周髀算經》就是蓋天說的代表作。《周髀算經》的蓋天說，襲用了戰國時期的天形如笠說，認為天和地是兩個相互維持相同間距的弧麵，天中央是極，與極相對應的地麵位置謂之極下，“天離地八萬裏”。太陽繞極旋轉，冬至時太陽處在最外道，故天弧麵的外沿大圓即冬至日道叫“外衡”。外衡平麵在極下高出地麵兩萬裏，距極則是6萬裏。這一說法，克服了過去天圓地方說不能解釋天地四角不相合的漏洞，是對天地結構認識的進步。此外，《周髀算經》的蓋天說，還有了不同地理緯度處同一天正午表影長度不等的概念，解決了方位測量的理論根據和實測方法，並有了不同地域氣候不同與太陽相對位置有關的初步印象。但是，由於《周髀算經》蓋天說的數學模型及數據並不正確，其說法被越來越多的天文觀測事實所否定，因而到西漢末年在哲學家揚雄提出了難蓋天八事後，影響日漸縮小。
宣夜說的最早起源已不可考。據《晉書·天文誌》記載：“宣夜之書亡，惟漢秘書郎郗萌記先師相傳雲：‘天了無質，仰而瞻之，高遠無極，眼瞀精絕，故蒼蒼然也。譬之旁望遠道之黃山而皆青，俯察千仞之深穀而窈黑，夫青非真色，而黑非有體也。日月眾星，自然浮生虛空之中，其行其止皆須氣焉。……’”郗萌生活於東漢前期，比張衡略早。宣夜說認為，並不存在一個有形質的天殼，人看到的天無邊無垠。日月星辰就在這無邊無際的虛空中飄浮，互不相關，絕無聯係，或進或退，或遲或疾，聽其自然，無所根係。這一學說比較接近現在所認識的宇宙。這比起古希臘的天文學家亞裏士多德和托勒密曾提出過的“天與地像一個同心水晶球”的觀點要先進得多。[4]但是，由於這一學說僅停留於思辨性的論述上，對於天體的活動缺少具體的說明，因而在當時影響並不大。
相比之下，渾天說是“言天三家”中最具有影響的一家。渾天說產生的年代可以追溯到戰國時期。它是人們在使用儀器測量天體位置的基礎上產生的一種天體結構理論。人們在使用赤道式簡單儀器觀測時，就能發現各個天體都有圍繞北極的東升西落的視運動，運動速度均勻。由於對圓早有認識，不久這種運動軌跡就同圓聯係起來而產生了天赤道、黃道等概念，從而為渾天說的產生創造了條件。到了漢代，由於渾儀的製作，這一學說日漸成熟。漢代許多著名的天文學家如落下閎、耿壽昌、鮮於妄人、張衡、蔡邕等人，都為渾天說的發展和完善作出了貢獻。渾天說的代表作是張衡的《渾天儀圖注》。它指出：“渾天如雞子，天體圓如彈丸，地如雞中黃，孤居於內，天大而地小。”這就是說，天是一個渾圓的殼，而地則是居於天殼中間的一個圓球。渾天說還認為，日月星辰都是綴於天殼之上，隨天殼繞著過南北極的軸而運動的。這是一種以地球作為中心的宇宙結構理論。由於這一理論比較近似地說明了天體運行的有關現象，同時又為渾儀的製作提供了理論依據，因而長期成為我國古代居於主導地位的一種宇宙理論。當然，渾天說作為一種宇宙構造學說也不是沒有缺陷，隨著生產力的發展和科學技術水平的提高，渾天說逐漸被新的宇宙理論所取代。
四、《周髀算經》中的數學運算
中國傳統數學自古就受到天文曆法的推動，在古代的天文、曆法著作中，往往有豐富而又深刻的數學內容。《周髀算經》雖然主要是一部天文著作，是“蓋天說”的代表作，但其中包含了許多數學內容，反映了當時人們所取得的數學研究成就，也可以說是流傳至今的中國最早的數學著作。
關於《周髀算經》的成書年代，學者們向來有不同的意見。一般認為，書中有春秋以前遺留下來的文字，主要為第一部分，由漢人補綴而成，補綴成書的時間大約在西漢成帝與東漢桓帝之間的百餘年中，成書後繼續由後人修飾、注解和增補，才有了二卷本和各家注本，因第一部分隻有265字左右，所以該書主要是由漢人寫成的。
在《周髀算經》中，還出現了許多複雜的分數運算。例如，在計算小歲、大歲、經歲、小月、大月、經月末月球對其故舍過不及的度數（均稱“不及故舍”）時，用到如下運算：
此外，《周髀算經》中還有許多重要的數學概念，如關於規矩方圓、方向線、分數的四則運算、開方法的論述，等等。這裏限於篇幅，不再作詳細的介紹。
五、中國最早的數學專著——《九章算術》
在流傳至今的中國古代數學著作中，《九章算術》是最早的一部數學專著。關於該書的作者及成書年代，史書缺乏明確的記載。一般認為，它不是一時一人的著作，而是在漫長的歲月裏，經過很多人修改補充而逐漸發展、完備起來的。我們現在隻知道西漢初年的張蒼、耿壽昌等人曾經對此書作過增補。據研究，它最後成書至遲在東漢前期（1世紀），但是它的基本內容卻在西漢後期（前1世紀中葉）已經大體定型。《九章算術》是中國古代數學的經典著作。它既包含有古代早已解決了的數學問題，也有西漢中期人們新獲得的數學知識，是秦漢時期中國數學方麵的集大成之作。它的出現，標誌著中國古代數學體係的形成。
今本《九章算術》是從《永樂大典》中輯出的劉徽注本，全書收有246個數學問題，分為九類，就是“九章”。每題有答案，一題或若幹題後有解法。《九章算術》的分類，不是按計算方法來分的，而是根據題目的內容劃分的。就計算方法而論，各章不能不常常異同互見。概略而論，方田章中所述的分數計算法，粟米、均輸、衰分等章中的比例問題，以及盈不足章中的盈虧問題，是屬於算術內容的；方田、少廣章中的麵積計算，商功章中的體積計算以及勾股章中的直角三角形的有關計算，屬於幾何問題；少廣章中的開方術（開平方和開立方），方程章中的方程及正負數問題有人把它們歸入代數問題；還有一些題目，涉及等差級數、等比級數、矩陣等問題。其內容之豐富多彩，由此可見一斑。
《九章算術》的第一章名為“方田”。這一章的主要內容是對各種田畝麵積的計算，其中涉及分數的四則運算法以及為此必須使用的約分、通分法。在書中，分數的加法稱為“合分”，運算的步驟是：“母互乘子，並以為實，母相乘為法，實如法而一，不滿法者，以法命之；其母同者，直相從之。”就是將某一分數的分子依次同其餘各分數的分母相乘作為新分子，所有分數的分母相乘作為新分母，這叫做通分；各新分子相加作為和之分子，新分母作為和之分母，就得到了諸分數之和。分數的減法叫做“減分”，其算法略。分數的乘法有兩種：真分數相乘名為“乘分”；代分數相乘名為“大廣”，其算法與今相同。分數的除法名為“經分”，運算的法則是先通分，使有相同的分母，然後按整數除法進行。例如《經分》第二題為：“有三人三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三，問人得幾何。”其算法是：
關於約分的方法，《九章算術》也有明確的記載：“可半者半之，不可半者副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。”“可半者半之”，就是首先看分母、子能否用2約簡，因為這最容易判斷。不能被2除時再用求等法約簡，求等的方法是“副置分母子之數，以少減多，更相減損”。“副置分母、子之數”，就是把分母、子之數分別布在籌算板上；“以少減多”，是從多中減去少，即從大數中減去小數；“更相減損”即輾轉相減，如果分母大於分子，先用分母減分子，減一次或若幹次之後，就會出現分母小於分子的情況，這時再用分子減分母，等減到小於分母時，又重新以分母減分子。這樣一直進行下去，直至分母與分子相等，這個等數就是分子分母的最大公約數。所以，中國古代算書把約分叫做求等法。現代算術中，求二整數的最大公約數方法有二，一是輾轉相除法，一是求分母子的公因子法。前者正是《九章算術》中“更相減損”法的演變，不過更為簡單。但在當時人們就能解決這樣一些較為複雜的數學問題，還是十分難得的。
值得一提的是，自《周髀算經》出現勾股定理以後，《九章算術》又將其應用範圍大大擴展了。在《九章算術》中，不但應用勾股定理由直角三角形的兩邊求第三邊，還進一步推求勾、股、弦及其和與差共九個量之間的關係，已知其中任意二個量，就可以求出其餘各量。又如，它還給出了直角三角形內切圓、內接正方形的求法，即所謂勾股容圓、勾股容方問題。對於一般三角形相似的條件，書中雖沒有專門論述，但凡是某一直角三角形的任一條直角邊和弦為另一直角三角形的一條邊和弦的延長線或部分重合，就認為它們是相似的，直接應用對應邊的關係相互求證，即所謂：“旁要雲者，不必實有是形，可自旁假設要取之。”這些，都說明比起《周髀算經》來，《九章算術》在數學研究領域又有了很大的提高。
開平方術、開立方術以及線性方程組的解法，是我國古代數學的重要內容，它們之間又存在著非常密切的關係。通過開平方術、開立方術，不但可以求解二元二次方程、二項三次方程，而且可以解一般的二次數值方程和三次數值方程。它也是我國古代解高次數值方程的基礎。在《九章算術》中，對這些算法記載十分詳盡。開平方的根據是由正方形的麵積求邊長。求麵積時，正方形田的麵積是一邊自乘，那麽已知麵積求正方形邊長時就導致了開平方的提出。在《周髀算經》中就已經有了開平方法，其中給出了一些數字的平方根，但直到《九章算術》才詳細敘述了開方的方法。開立方法是在計算立方體邊長的要求下產生的。《九章算術》中開方法有很高的數學水平。到11世紀中葉的宋代，在九章闡發的開立方術的基礎上又產生了開任何次冪法，即所謂“增乘開方法”，還創造了天元術及高次方程的解法，使我國的開方術在世界上一直處於領先的地位。歐洲直到17世紀開立方法仍很落後，隻相當於我國《九章算術》的水平。此外，《九章算術》中還介紹了許多方程組的解法。方程章中共記載了18題，其中最高的是五元一次方程組，解法同現代數學中聯立方程組的解法一樣，采用的是消元法。其中用算籌解聯立方程組時在籌算盤上布算隻布各項係數，而且縱列，形式與現代數學中的行列式完全相同，其計算法在行列式中也是成立的。這項成就也比歐洲數學發展水平早，歐洲直到16世紀才有人研究三元一次方程組，有關線性方程組的理論及其解法直到17世紀末才建立。
另外，《九章算術》在解聯立方程組時，為了消去某一項，很容易出現其他項減數大於被減數的現象，這就導致了負數的出現。《九章算術》中用赤籌表正數，用黑籌表負數，正負數的加減法稱為正負術。內容是“同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之”。其中前四句是減法法則，後四句是加法法則；“除”表示減掉，“益”表示相加。這裏不僅提出了正負數的概念，而且還給出了加減運算法則。正負數的提出，是中國數學發展史上的一大成就，對數學的發展有著十分重大的意義。在世界上，其他國家最早是印度人於7世紀才最先提出負數；而在歐洲，直到17世紀才出現了第一次較為圓滿地論述負數的著作。
以上隻是對《九章算術》內容作了一個較為粗略的介紹，既不夠係統，也不夠全麵。但是，僅憑這些，就足以說明它在中國古代數學發展史、乃至世界數學發展史上的重要地位。也正因為如此，所以在《九章算術》出現後，曆代數學家有不少人曾經對它進行多次注釋，並被封建政府規定作為進行數學教育的教科書，名列於“算經十書”之中。此書還流傳到朝鮮和日本，對朝鮮和日本古代數學的發展也起了積極的推動作用。現在，此書已被譯成俄、德、日等多種文字出版，受到了各國學者的重視。